Wang Haihua
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钢琴销售量很小, 商店的库存量不大以免积压资金，一家商店根据经验估计, 平均每周的钢琴需求为 1 架 存贮策略: 每周末检查库存量, 仅当库存量为零 时, 才订购 3 架供下周销售; 否则, 不订购。 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大, 以及每周的平均销售量是多少。
顾客的到来相互独立, 需求量近似服从波松分布, 其 参数由需求均值为每周 1 架确定, 由此计算需求概率 存财策略是周末库存量为零时订购 3 架 $\rightarrow$ 周末的库存 量可能是 $0,1,2,3$, 周初的库存量可能是 $1,2,3$ 。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同, 失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。 可按稳态情况 (时间充分长以后) 计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
钢琴每周需求量服从波松分布, 均值为每周1架 存贮策略：当周末库存量为零时, 订购 3 架, 周 初到货; 否则, 不订购。 以每周初的库存量作为状态变量, 状态转移具有 无后效性。 在稳态情况下计算该存财策略失去销售机会的概率, 和每周的平均销售量。
状态转移规律: $$ S_{n+1}= \begin{cases}S_{n}-D_{n}, & D_{n}<S_{n} \\ 3, & D_{n} \geq S_{n}\end{cases} $$
$$ \begin{aligned} &p_{11}=P\left(S_{n+1}=1 \mid S_{n}=1\right)=P\left(D_{n}=0\right)=0.368 \\ &p_{12}=P\left(S_{n+1}=2 \mid S_{n}=1\right)=0 \\ &p_{13}=P\left(S_{n+1}=3 \mid S_{n}=1\right)=P\left(D_{n} \geq 1\right)=0.632 \\ &\cdots \cdots \\ &p_{33}=P\left(S_{n+1}=3 \mid S_{n}=3\right)=P\left(D_{n}=0\right)+P\left(D_{n} \geq 3\right)=0.448 \end{aligned} $$状态转移阵: $$ \begin{aligned} P&=\left[\begin{array}{lll} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cll} 0.368 & 0 & 0.632 \\ 0.368 & 0.368 & 0.264 \\ 0.184 & 0.368 & 0.448 \end{array}\right] \end{aligned} $$
稳态概率分布 $\boldsymbol{w}$ 满足 $\boldsymbol{w} P=\boldsymbol{w}$ $$ w=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right)=(0.285,0.263,0.452) $$
$$ \boldsymbol{n} \rightarrow \infty \text {, 状态概率 } a(n)=(0.285,0.263,0.452) $$第 $\boldsymbol{n}$ 周失去销售机会的概率 $$ \begin{aligned} &P\left(D_{n}>S_{n}\right)=\sum_{i=1}^{3} P\left(D_{n}>i \mid S_{n}=i\right) P\left(S_{n}=i\right) \\ &=P(D>1) w_{1}+P(D>2) w_{2}+P(D>3) w_{3} \end{aligned} $$
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline D & 0 & 1 & 2 & 3 & >3 \\ \hline P & 0.368 & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.019 \\ \hline \end{array}$$ w=(0.285,0.263,0.452) $$从长期看，失去销售机会的可能性大约10%。
第n周平均售量: $$ R_{n}=\sum_{i=1}^{3}\left[\sum_{j=1}^{i} j P\left(D_{n}=j, S_{n}=i\right)+i P\left(D_{n}>i, S_{n}=i\right)\right] $$ 需求不超过存量, 销售需求超过存量,销售存量.
$$ \begin{array}{r} =\sum_{i=1}^{3}\left[\sum_{j=1}^{i} j P\left(D_{n}=j \mid S_{n}=i\right)+i P\left(D_{n}>i \mid S_{n}=i\right)\right] P\left(S_{n}=i\right) \\ =0.632 \times 0.285+0.896 \times 0.263+0.977 \times 0.452=0.857 \end{array} $$从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架).
当平均需求在每周1(架) 附近波 动时，最终结果有多大变化。 设 $D_{n}$ 服从均值为 $\lambda$ 的泊松分布
$$ \begin{aligned} &P\left(D_{n}=k\right)=\lambda^{k} e^{-\lambda} / k !,(k=0,1,2 \cdots) \\ &P=\left[\begin{array}{ccc} e^{-\lambda} & 0 & 1-e^{-\lambda} \\ \lambda e^{-\lambda} & e^{-\lambda} & 1-(1+\lambda) e^{-\lambda} \\ \lambda^{2} e^{-\lambda} / 2 & \lambda e^{-\lambda} & 1-\left(\lambda+\lambda^{2} / 2\right) e^{-\lambda} \end{array}\right] \end{aligned} $$第 $\boldsymbol{n}$ 周 $\left(\boldsymbol{n}\right.$ 充分大) 失去销售机会的概率 $P=P\left(D_{n}>S_{n}\right)$
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \lambda & 0.8 & 0.9 & 1.0 & 1.1 & 1.2 \\ \hline P & 0.073 & 0.089 & 0.105 & 0.122 & 0.139 \\ \hline \end{array} $$当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12% 。